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1. 접선의 방정식
왜 접선의 방정식이라는 단원이 있을까 ? 미분은 매우 유용하다. 임의의 곡선에 있어서 특정 점에 대한 기울기를 구할 수 있다. 극한의 정의와 미분의 정의에 따라 미분계수가 존재한다면데 곡선위의 모든 점들에서 접선을 그을 수 있다. 그 접선의 기울기를 미분계수로 구할수 있는 것이다. 따라서 우리는 곡선의 함수식과 곡선의 특정점에 대한 정보가 있다면, 특정점을 지나는 접선을 구할 수 있다. 이렇게 활용이 가능한 것이다. 즉 이 단원은 미분을 통한 활용으로 접선의 방정식을 구할 수 있기에 있는 것이다. 즉 활용에 대한 첫번재 내용이다.
그렇다면 이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 곡선 위의 접점을 잡아야 그 접선의 기울기를 구하고 방정식을 세울 수 있다. 따라서 접점이 안주어진다면 접점을 찾으려고 하고 이름이 없으면 접점을 설정하면 된다.
2. 함수의 증가와 감소
우리는 함수를 어떻게 그릴 수 있을까? 수1 수2에서 그래프를 그린다. 직관적으로 개념을 익혀서 그래프를 그렸다. 하지만 그 함수가 증가인지 감소인지 어떻게 알 수 있나 ? 바로 미분을 활용하는 것이다. 그리고 함수의 증가와 감소도 수2에서 배웠던 내용이다. 미분을 통해서 증감 감소를 구분할 수 있고 알 수 있는 것이다. 근데 어떻게 알 수 있는 것인가 ? 미분의 정의에 따라서 각 곡선 함수에 미분계수는 함수값의 변화율을 나타낸다. 그 변화율에 따라 해당 곡선 함수가 증가하는지 감소하는지 알 수 있는 것이다. 그리고 편하게 도함수로 표현하여 양이면 증가 음이면 감소를 알 수 있다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 도함수의 부호를 통해 원함수의 증가와 감소를 따지면 된다.
3. 함수의 극대와 극소
증가와 감소의 연장선이다. 극대란 무엇인가? 함수값이 가장큰 지점이다. 그렇다면 어떻게 곡선함수가 어떻게 이루어질까 ? . 증가하다고 감소로 바뀌는 특정점이 있는데 이를 극대라고 한다. 즉, 미분계수가 양수여서 곡선 함수가 증가를 하다가 특정점 이후로는 미분계수가 음수여서 곡선 함수가 감소를 하게 되는 것이다. 다르게 표현하면 미분계수의 값 부호가 바뀌는 특정점이 있는데 이때 미분계수의 값은 0이 되는 점이라고도 할 수 있다. 왜냐하면 미분계수의 값 부호가 변화가 있기 때문이다. 극소도 마찬가지이다. 미분계수 부호가 음이었다가 양으로 바뀌면 곡선 함수가 감소하다가 증가하는 형태이기에 극소가 생기며, 그 극소점의 미분계수는 0이다. 부호가 음에서 양으로 바뀌는 구간에서는 미분계수가 0을 지날수 밖에 없기 때문이다. 직관적으로 생각하려면 그래프를 떠올려야 한다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 극대 극소를 판정할 때는 도함수가 0이 되는 x를 찾고, 도함수의 부호 변화를 관찰하면 된다. 그러므로 극대와 극소를 알 수 있다.
4.곡선의 오목과 볼록
곡선의 오목과 볼록이 무엇일까? 일단 볼록의 정의 부터 살펴 보자. 임의의 곡선 함수가 있다고 하면 그 곡선의 P, Q 점을 잡는다. P, Q 점을 이은 선분을 만들어서 그 기준으로 곡선이 선분보다 크다면 위로 볼록이고 곡선 함수는 아래로 오목이라고 정의를 내린다. 반대로 곡선이 선분보다 작으면 곡선함수는 아래로 볼록 또는 위로 오목이라고 정의를 내린다. 그래프로 직관적으로 이해할 수 있게끔 떠올려보라. 그리고 여기서 이계도 함수를 접목하여 우리는 곡선 함수의 오목과 볼록을 알아 그래프 개형을 그리는데 도움을 얻을 수 있다. 이계도 함수로 곡선 함수의 오목, 볼록 여부를 알 수 있고, 이계도 함수의 의미는 또한 미분계수의 증감을 알 수 있다. 구체적으로 어떻게 미분계수를 통해 함수의 오목 볼록을 알 수 있는 걸까 ? 곡선 함수의 접선 기울기는 미분계수이고 이것이 증가를 한다면 이계도 함수는 그구간에 한해서 0보다 크다고 할 수 있고, 접선 기울기가 감소를 한다면 이계도 함수는 그구간에 한해서 0보다 작다고 할 수 있다. 다르게 다시 이야기를 한다면 이계도 함수가 0보다 크다면 접선 기울기가 증가를 하게 되고 이는 곡선 함수가 아래로 볼록이라는 것을 알 수 있고, 반대로 이계도 함수가 0보다 작다면 접선 기울기는 감소를 하게 되고 이는 곡선 함수가 위로 볼록 인것을 알 수 있다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 이계도 함수의 부호를 통해 원함수의 오목과 볼록 여부를 알 수 있다.
5. 변곡점
변곡점은 말그대로 변곡하는 점이며, 곡선이 위로 볼록했다가 특정점 이후에는 아래로 볼록하는 것을 의미하며, 이에 따라 접선 기울기의 부호가 양에서 음이나 음에서 양으로 전환되는 의미를 지니며 이계도 함수 값이 0인 부분이다. 왜냐하면 미분계수 또는 접선의 기울기 값이 부호 전환이 되기 때문에 부호 전환되는 구간에서는 이계도 함수값이 0으로 되기 때문이다. 갑자기 0이 안되고 팍 바뀌는 경우는 고등교육과정에서는 없다고 봐야한다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 변곡점을 판별할 떄는 이계도함수가 0이 되는 지 살피고 좌우 부호 변화를 관찰하라.
6. 함수의 그래프
그래프 개형을 그릴 때는 기준이 필요하다. 잘 생각해보자 그래프 그릴려면 어떻게 되어야 하나 ? 정의역을 기준을 잡고 치역을 살핀다. 그리고 대칭성과 주기성을 살핀다. x,y 절편을 보고 그외에 극대,극소 변곡점을 통해서 구체화 시킨다. 그다음 정의역 구간에 따른 점근선을 구해본다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 기본 태도는 어떻게 구성되지를 떠오르면 된다. 그리고 그래프의 특이점에 주목해야한다. 접하는지 증가 감소 하는지를 따지고 기준을 잡고 분류하면 문제가 수월하게 풀린다. 그리고 정의역 구간의 경계에 점근선을 확인하면 전체적인 틀을 잡을 수 있다. 극대값, 극소값을 구간의 양 끝점의 함수값과 비교하여 최대 최소를 찾을 수 있어서 더욱 그래프 개형을 정밀하게 잡아 나갈 수 있다. 최대 최소 구 할 떄 새로운 변수는 변역을 확인하라 꼭 주의 해야한다.
7.방정식과 부등식에의 활용
방정식은 차이함수나 병합할지 나눌지 생각하는 것이 중요하다. 부등식은 병함해서 하는게 제일 낫다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 방정식의 실근 개수는 그래프의 교점 개수와 같다고 보면 된다. 그래서 그래프로 직관적으로 이해하는 것이 먼저이다. 그리고 함수의 최댓값과 최솟값을 이용하여 여러 가지 부등식을 증명하라. 차이 함수를 이용하면 유용한데 함수 세팅시 되도록 함수의 차를 이용하는게 효율 적이다.
8.속도와 가속도
거리 미분 속도, 속도 미분 가속도, 여기서 이계도 함수가 사용된다. 그리고 t 매개변수를 통해서 일직선 1차적 운동 말고 x,y 축 운동을 해석할 수 있다. 속도 시간그래프에서 그 접점의 기울기는 속도를 뜻하게 된다.
이 영역에서 우리가 가져야할 태도는 무엇인가? 속도와 가속도는 순서쌍이다. 즉 좌표평면에서 점이다.